с4 математика 2012

А.Н. Колпаков, репетитор по математике в Москве. Строгино

Можно отметить достаточно высокую степень уникальности задачи. Я не припомню аналогичного условия в каком-либо задачнике, хотя моя отличается большой обзорностью приемов и тем, рассмотрением широкого спектра вариантов прошлых лет (как с ЕГЭ, так и внутренних конкурсных номеров, предлагавшихся сильными ВУЗами раньше). Моя оценка задаче — 9 баллов из 10.

Как репетитор по математике оценивает задачу: мне всегда было интересно оценивать конкурсные задания по разнообразию и количеству математических фактов, участвующих в их решении. В случае с условием С4 подбор средств для решения оказался достаточно интересным и профессионально выполненным, ибо удалось задействовать сразу три мощных теоремы планиметрии: свойство отрезков секущих, теорема косинусов (применялась дважды) и критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Кроме проверялось умение абитуриента выражать с их помощью отдельные элементы рисунка и использовать полученные выражения при составления финального уравнения.

Возможно принципиально иное расположение точек M и N. Почему? В условии задачи С4 сказано, что окружность пересекает прямые АВ и АС, поэтому нельзя исключать случай расположения точек пересечения с продолжениями сторон. Обе точки M и N (очевидно) не могут располагаться вне отрезков (иначе вписанная в окружность не сможет коснуться отрезка MN. Поэтому одна из точек лежит на стороне, а другая на ее продолжении. Пусть (cм. рисунок слева). Тогда по свойству отрезков хорд имеем . Из этого равенства следует, что . Так как они описаны около одной окружности, то их коэффициент продобия будет равен 1, поэтому эти треугольники равны, а следовательно MN=BC=10

Применим критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Так в BMHC можно вписать окружность, то

Выразим длину отрезка MH через икс по теореме косинусов в треугольнике АМН:

Применим свойство отрезков секущей (случай их внешнего пересечения) для секущих АВ и АС. Имеем равенство . Пусть AM=x, тогда

Найдем косинус угла А в треугольнике АВС по теореме косинусов:

Решение репетитора по математике:

Дан треугольник АВС, в котором AB=7, АС=9 и ВС=10. Окружность проходит через точки В и С и пересекает лучи АВ и АС в точках М и Н соответственно. Найти МН, если в ВМНС можно вписать окружность.

Итак, свершилось! Проведен очередной (уже четвертый по счету) ЕГЭ по математике. Многим интересно посмотреть, как решает задачу С4, которая была на нем предложена. Она у многих не получилась. И даже сами репетиторы не сразу разобрались, что к чему. Вчера мне прислали текст условия С4 и я тут же решил опубликовать свое решение.

Автор: Колпаков А.Н. on 9 июня 2012

Задача С4 с ЕГЭ по математике 2012г. Решение репетитора

Профессиональный репетитор по математике, методист. Опыт работы 18 лет

Задача С4 с ЕГЭ по математике 2012г. Решение репетитора Колпаков Александр Николаевич